ECDSA 签名

在相同的安全级别下，ECDSA 的密钥和签名比 RSA 短。256-bit 的 ECDSA 签名与 3071-bit 的 RSA 签名有着相同的安全性。

定义

基点 $G$：用于曲线上标量乘法，对于 secp256k1，有

x = 0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798
y = 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8

阶 n：椭圆曲线群上点的个数，对于 secp256k1，有

0xfffffffffffffffffffffffffffffffebaaedce6af48a03bbfd25e8cd0364141

基域 $F_q$：椭圆曲线上点的坐标的取值范围，比 $n$ 稍大，对于 secp256k1，有
```
0xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffefffffc2f (prime number)
```
私钥 $x$：随机数，取值范围为 [0, n-1]
公钥 $X$ = $x \cdot G$，是标量 $x$ 与基点 $G$ 的标量乘积
在椭圆曲线中，常用加法符号表示群运算（根据椭圆曲线点语法，将标量放在括号里），但是如果想用乘法表示法，也可以写为 $X = G^x$。这些差异在实践中并不重要。大多数情况下，加密协议并不关心群的基本性质，它们往往使用乘法表示群运算，但在基于椭圆曲线群定义的协议更倾向于使用加法表示群运算。

签名

计算消息哈希：$m = hash(msg)$ mod $n$，相当于将消息映射到了椭圆曲线上
取 nonce：$k \in [1, n-1]$。注意，每次签名都有选取不同的随机数，否则可以从两次的签名中反推私钥。通常推荐 $k$ 的计算方法：$k=hash(x, msg)$ mod $n$
计算点 $R = k \cdot G$，得到 $R$ 的 x 坐标 $r = R.x$ mod $n$，如果为 0，返回第 1 步
计算签名的 proof：$s = k^{-1}(m + r \cdot x)$ mod $n$，如果为 0，返回第 1 步
返回签名 signature {$r$, $s$}

验签

推导：

$$ \begin{align} R'&=(s^{-1}m) \cdot G + (s^{-1}xr) \cdot G \\ &=(s^{-1}(m + rx)) \cdot G \\ &=k^{-1} \cdot G \\ &=R \end{align} $$

安全机制

签名：将随机点 $R$ 通过私钥 $x$ 和消息的哈希 $m$ 编码为一个数字 $s$，该数字是签名者知道私钥的 proof。由于 ECDLP problem，无法从签名 {$r$, $s$} 反推私钥。
验签：使用公钥 $X$ 和消息的哈希 $m$ 将 $s$ 解码，还原出点 $R$，通过比对 $R.x$ 与签名中的 $r$ 完成验证

Schnorr 签名

Schnorr 相对于 ECCSA 来说，更快速（没有求逆运算），并且可以实现多签。不过不像 ECDSA，Schnorr 不提供恢复签名者的公钥机制。

签名

schnorr 签名本质上是两个值，R 和 s，其中 R 是对某个秘密随机值的承诺（通常称秘密值为 nonce，因为它对每个签名都是唯一的），s 是通过承诺 R、私钥（见证 x）和消息及时的值。

验签

推导：

$P_1 = s \cdot G = (k + e \cdot x) \cdot G = k \cdot G + e \cdot x \cdot G = R + e \cdot X = P_2$

EdDSA (Edwards-curve Digital Signature Algorithm) 是一个现代的、安全带签名算法，Ed25519 是它的变种。

EdDSA 比 ECDSA 更安全，更简单，更容易理解和实现。对于大多数曲线（比如 edwards25519），EdDSA 算法比 ECDSA 更快。不过不像 ECDSA，EdDSA 不提供恢复签名者的公钥机制。

EdDSA 一个特殊之处在于，该方案不需要每次签名都使用全新的随机数。而对于 ECDSA，如果两次签名使用了相同的随机数，会导致私钥泄露。

EdDSA 签名与 Schnorr 签名类似，不同之处在于

签名

EdDSA 不直接生成签名密钥，而是首先生成一个密钥并用它派生实际的签名密钥 x 和 nonce 密钥。

EdDSA_sign(msg, privKey) --> { R, s }

私钥为 $d$，计算 $(low_{bit}, hi_{bit}) = sha512(d)$
则签名密钥为 $x=low_{bit}$
nonce 为 $k=sha256(hi_{bit}, msg)$ mod $ n$
计算公钥 $X = x \cdot G$
计算 nonce 的承诺：$R = k \cdot G$
计算挑战：$e = hash(R, X, msg)$ mod $n$
计算证据：$s = (k + e \cdot x)$ mod $n$
{$R, s$}

验签

EdDSA_signature_verify(msg, pubKey, signature { R, s } ) --> valid / invalid