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1 什么是 SCEV
Scalar Evolution(SCEV)用于分析循环中的标量(scalar)是如何变化的(evolution)。
SCEV 是 LLVM 中一个很重要的 analysis pass,可识别 general induction variables。该 analysis 主要用于 induction variable substitution 和 strength reduction。
例子:
void foo(int *a, int n, int k) {
int t = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
t = t + k;
}
*a = t;
}
$t$ 的初值是 0,每次循环都会对 $t$ 加 $k$,这便是 $t$ 的演化。
但只有 $t$ 的终值会被 *a = t
用到,那么是否有一种方法可以直接算出 $t$ 的终值,而不必进入循环中一步一步去算?
下图使用了 SCEV 分析结果后进行优化的例子:
优化后的 IR 直接用 t = n * k
得到了 $t$ 的终值,从而去掉了 for 循环。
另外一个例子:
优化后的 IR 用加法代替了乘法运算。
以上优化是如何是如何做到的?下一章看下 SCEV 是如何对循环中的变量进行建模的。
2 SCEV 的数学框架 -- Chains of Recurrences
SCEV 采用非循环表达式对循环中的变量建模,该表达式称为 Chains of Recurrences (CR)。
2.1 Basic Recurrences
int f = k0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
… = f ;
f = f + k1;
}
其中,$k_0$ 和 $k_1$ 是循环不变量,$f$ 的递推公式为:
basic recurrence = {$k_0$, +, $k_1$},表示初值是 $k_0$,每次递增 $k_1$。
BR 形式化表示:$\left\{a_0, \bigodot, a_1\right\}$
- $a_0$ 是初值,是一个常数
- $\bigodot$ 是一个二元运算,$\bigodot$ ∈ {+, ∗}
- $a_1$ 是步长,是一个常数。
例如,BR = {3, +, 7} 可以生成序列 3, 10, 17, ...
## 2.2 Chain Recurrences
与 basic recurrence 相比,chain recurrrence 中的步长可能不是常量,而是另一个 basic recurrence。
例如 {1, +, {3, +, 7}} 指一个序列的初始值是 1,以另一个 BR = {3, +, 7} 作为步长进行增加:
上述式子比较抽象,写成代码形式会更容易理解变量 i 是如何变化的:
// SCEV for i: {1, +, 3, +, 7}
int i = 1;
int j = 3;
while (i < n) {
i += j;
j += 7;
}
CR 形式化表示:$\left\{a_0, \bigodot_1, a_1, \bigodot_2, a_2 ..., \bigodot_n, a_n \right\}$
2.3 构建 CR
常用的运算规则:
$ C + \left\{e, + f \right\} \rightarrow \left\{C + e, +, f\right\}$,$C$ 是循环不变的
例如 12 + {7, 3} => {19, +, 3}
$C * \left\{e, +, f\right\} \rightarrow \left\{C * e, +, C * f\right\}$,$C$ 是循环不变的
例如 12 * {7, +, 3} => {84, +, 36}
$\left\{e, +, f\right\} + \left\{g, +, h\right\} \rightarrow \left\{e + g, +, f + h\right\}$
例如 {7, +, 3} + {1, +, 1} => {8, +, 4}
$\left\{e, +, f \right\} * \left\{g, +, h\right\} \rightarrow \left\{e * g, +, h * \left\{ e, +, f\right\} + f * \left\{ g, +, h\right\} + f * h \right\}$
如果 f 和 h 为常数,则公式还可表示为 $\left\{e * g, +, e * h + f * g + f * h, +, 2 * f * h\right\}$
例如 {0, +, 1} * {0, +, 1} => {0, +, 1, +, 2}
有了上述规则,就可以通过已有变量的 CR 推出其它变量的 CR,例如:
前面的规则比较好理解,如果有兴趣的话,可以看下最后一个规则的推导:
设 $x = \left\{e, +, f\right\}$,$y = \left\{g, +, h\right\}$,则 $start_{xy} = eg$,
$$ \begin{align} step_{xy} & = x_ky_k - x_{k-1}y_{k-1} \\ & = (x_{k-1} + f)(y_{k-1} + h) - x_{k-1}y_{k-1} \\ & = x_{k-1}y_{k-1} + x_{k-1}h + fy_{k-1} + fh - x_{k-1}y_{k-1} \\ & = x_{k-1}h + fy_{k-1} + fh \end{align} $$
所以
$$ \begin{align} xy & = \left\{eg, +, hx + fy + fh\right\} \\ & = \left\{eg, +, h\left\{ e, +, f\right\} + f\left\{ g, +, h\right\} + fh \right\} \\ \end{align} $$
参考文献 [7] 给出了另一种推导方式。
3 SCEV 应用示例
计算 $sum$:
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum += i * i * i;
}
其中,$i * i * i$ 的 CR 可用如下式子简化
$$ \begin{align} i * i * i &= \left\{1, +, 1\right\} * \left\{1, +, 1\right\} * \left\{1, +, 1\right\}\\ &= \left\{1, +, \left\{3, +, 2\right\}\right\} * \left\{1, +, 1\right\}\\ &= \left\{1, +, \left\{1, +, 3, +, 2 \right\} + \left\{3, +, 2 \right\} * \left\{1, +, 1 \right\} + \left\{3, +, 2\right\} \right\}\\ &= \left\{1, +, \left\{1, +, 3, +, 2 \right\} + \left\{3, +, 7, +, 4 \right\} + \left\{3, +, 2\right\} \right\}\\ &= \left\{1, +, \left\{4, +, \left\{10, +, 6 \right\}\right\} + \left\{3, +, 2\right\} \right\}\\ &= \left\{1, +, \left\{7, +, \left\{12, +, 6 \right\}\right\} \right\}\\ &= \left\{1, +, 7, +, 12, +, 6 \right\}\\ \end{align} $$
所以
$$ sum = \left\{0, +, i * i * i\right\} = \left\{0, +, 1, +, 7, +, 12, +, 6\right\} $$
下图中的方式也可以计算出 CR
第 1 行表示循环次数,第 2 行是 sum 的值,第 3 行是两次循环之间的 sum 的差值 $\delta$,第 4 行是两次循环之间 $\delta$ 的差值 $\delta^2$,第 5 行是两次循环之间 $\delta^2$ 的差值 $\delta^3$,第 5 行是两次循环之间 $\delta^3$ 的差值 $\delta^4$。
体现在代码上:
int sum = 0;
int t1 = 1;
int t2 = 7;
int t3 = 12;
for (int i = 1; i <= count; i++) {
// sum += i * i * i;
sum += t1;
t1 += t2;
t2 += t3;
t3 += 6;
}
用加法运算取代了昂贵的乘法运算。
但是发现,求和过程中,虽然 $sum$ 在不断变化,但是不需要追踪它的变化,只需要知道它的终值即可。
其实,有了 CR 后,我们可以直接用数学的方法推出该循环执行了 $i$ 次后 $sum$ 是多少。例如,$var$ = {0, +, 3},可以直接算出循环 3 次后,$var$ = 9。对于一般情况 $var = \left\{a_0, +, a_1, +, ..., +, a_n\right\}$,则第 $i$ 次循环后 $var$ 的值为
$$ \begin{align} var(i) & = \sum_{j=0}^n a_j C_i^j \\ & = a_0 + a_1i + a_2\frac{i(i-1)}{2!} + ... + a_n\frac{i(i-1)...(i-n-1)}{n!} \end{align} $$
推导过程见参考文献 [7]。
可简单理解为:
$a_0$ 只有在最初时被加了 1 = $C_i^0$ 次
$a_1$ 在每个循环中都被加了 i = $C_i^1$ 次
$a_2$ 在第 2 个循环被加了 1 次,第 3 个循环被加了 2 次,...,共被加了 $i * (i - 1) / 2 = C_i^2$
$a_j$ 共被加了 $C_i^j$
所以 $var(i) = \sum_{j=0}^n a_j C_i^j$
那么,对于 $sum$= {0, +, 1, +, 7, +, 12, +, 6},可以直接得到第 $i$ 次循环后
$$ \begin{align} sum(i) & = 0 + i + \frac{7i(i-1)}{2!} + \frac{12i(i-1)(i-2)}{3!} + \frac{6i(i-1)(i-2)(i-3)}{4!} \\ & = i + \frac{7i(i-1)}{2} + 2i(i-1)(i-2) + \frac{i(i-1)(i-2)(i-3)}{2} \\ \end{align} $$
编译器只需要生成类似生成计算上述式子的代码即可,从而将时间复杂度由 O(n) 降到 O(1)。
使用如下命令可查看优化前的代码:
$ clang -emit-llvm -S sum.c -o sum.ll
使用如下命令可查看优化后的代码:
$ clang -emit-llvm -O3 -S sum.c -o sum.ll
使用如下命令可查看 SCEV 分析:
$ opt -analyze -scalar-evolution sum.ll
使用如下命令可以得到更为简短的输出:
$ opt -analyze -scalar-evolution -scalar-evolution-classify-expressions=0 sum.ll
4 LLVM 中的 SCEV
4.1 SCEV 接口使用示例
int simpleLoop(int n) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
sum += i;
}
return sum;
}
- getSCEV(i) = <0, +, 1><nsw, nw>
- getExitCount(latchBB) = n
- getSCEVAtScope(sum, nullptr) = n * (n + 1) / 2,有助于减少一些小的循环
- getLoopDisposition(n) = Invariant
- isKnownNonNegative(i) = true
4.2 规范 loop
先将循环规范后,再供 SCEV 使用。
循环
header:循环入口节点
backedge:回到 header 的边
latch:backage 的起始节点
exiting:后继位于循环外部的节点
exit:前继位于循环内部的节点
规范后的循环
Preheader
header 节点的唯一前继,支配(dominate)整个 loop
- Single Backedge
Dedicated Exit
Loop-closed SSA 在循环边界处为在循环内部定义但在循环外部使用的变量插入 phi 指令
- 可确保循环内部和外部优化的独立
- 更快地将 IR 转换成 SSA 形式
4.3 SCEV 函数
生成变量 V 的 SCEV 表达式。
返回循环 L 中变量 S 的 SCEV 表达式。如果 S 位于 L 外,则可结合 getExitCount 计算 S 的退出值。
SCEV 表达式支持:
- 整型和指针型,不适用于浮点型
- 整数类型转换:zext, sext, trunc
- 运算:min, max, add, mul, udiv,不适用于 sdiv
SCEV 表达式可嵌套,叶子节点是常数或者“unknown”。
不同于 IR 指令,SCEV 表达式支持多个操作数,比如 %a + %b + %c。
SCEV 表达式在构建的时候就会被规范化,比如会将 %a + (%b + %c) 替换为 %a + %b + %c,会将 %a + 1 替换为 1 + %a,会将 %a - %b 替换为 (-1 * %b) + %a。所以给定一系列操作数和类型,只会对应唯一的 SCEV 表达式。如果想比较两个 SCEV 表达式是否相同,只需要比较它们的指针是否相同即可。
getExitCount(L, ExitBB, ExitKind)
对于循环 L,返回某个退出块 ExitBB 的退出计数(backedge-taken count, BE count)。
- BE count 统计了 loop backedge 在循环退出前执行了多少次。
- trip count 是 loop header 被执行的次数,通常被称为迭代次数。
- 两者比较:tripe count = BE count + 1。如果循环在第一次迭代就退出,则 BE = 0,trip count = 1。使用 BE count 的原因是它的 bit-width 和控制循环的 IV(induction variable)宽度一样,而 tripe count 中的加 1 操作可能会导致溢出。
注意,如果循环异常退出,退出计数不会因此发生改变。如果循环从未从该出口退出过,该值可能是无限大,或者至少大于其它出口的退出计数。它只是一个近似实用的函数。
ExitKind 有三种模式:
- exact,仅适用于只有一个出口的循环。
- symbolic max:可以认为是所有出口中的最大退出计数。
- constant max:是 symbolic max 的常量上限,常见的值是 -1(或者在无符号数情况下是 UINT_MAX)。
有了 BE count,就可以算出”exit value“或”SCEV at scope" 。例如,有 SCEV 为 {2, +, 3},BE count 为 -1 + %n,那么退出值为 2 + 3 (-1 + %n) 或 -1 + (3 %n)
Predicate checking
- isKnownPredicate / isKnowX:是其它断言的基础
- isLoopEntryGuardedByCond / isLoopBackedgeGuardedByCond:检查在循环入口或循环 backedge 处,谓词是否是否成立。这两个函数结合在一起,有助于将表达式简化为循环不变的,是循环转换时非常有用的谓词。
LoopDisposition / Invariance / dominates
对于给定值,返回它是否”可能“是潜在循环不变的,是否是支配的,主要用于 SCEV 程序内部。
注意,这里的“潜在循环不变”比较微妙,SCEV 级别上的 domination / invariance 和 IR 级别上的会有一些不同。例如:
/*
for (int i = 0; i < end; i++) {
d = a / b;
}
*/
loop:
%iv = phi i32 [ 0, %preheader ], [ %iv.next, %loop.latch ]
%iv.next = add i32 %iv, 1
%cmp = icmp ne i32 %iv.next, %end
br i1 %cmp, label %loop.latch, label %exit
loop.latch:
%div = udiv i32 %a, %b ; operands defined outside of loop
br label %loop
udiv i32 %a, %b
不能被提到循环外,因为如果循环在第一次迭代就退出的话,udiv 是不会被执行到的。如果向 LoopInfo 询问 %div
对于 %loop
是否是循环不变的,答案是否。
但是,如果看 SCEV 表达式 %a /u %b
,那么它对于 %loop
是循环不变的,可以提到循环外面。所以 SCEV 级别上的 domination / invariance 要强于 IR 级别。
有时候需要从 SCEV 表达式回到 IR 指令,比如在 IR 中计算退出计数或退出值,这可被 SCEVExpander 处理,它可生成一些必要的指令来计算 SCEV 表达式的值。
在扩展前,要检查两件事:
- 扩展是否是安全的。一般如果表达式中包含除法,那么扩展是不安全的,因为无法证明除数不为 0。
- 扩展的代价是否比较大。SCEV 表达式可能非常大,如果在执行转换时,该转换需要 50 条指令来计算 backedge taken count,可能是不值得的。
expander 尝试在两方面生成更加有效的代码:尽量将指令外提;尽量重复使用已有的指令。
expander 有多种模式来扩展操作,默认采用”canonical mode“,地址的表达会基于一个规范 {0, +, 1} 归纳变量。还有一种特殊的模式是 LSR 模式,会被 LSR pass 使用。
有时候传入的 IR 不满足变换所需的某些先决条件,这种情况下,”predicted“ scalar evolution 允许我们假设某个谓词成立,并在该假设下计算 SCEV 表达式。
为了执行真正的转换,需要对循环进行版本控制:生成循环的两个副本,其中一个副本由假设的谓词保护。然后被保护的循环可基于这些谓词进行转换。
4.3 SCEV 实现
时间关系,没有读完 SCEV 源码。源码的注释中给出了如下参考文献:
- Chains of recurrences -- a method to expedite the evaluation of closed-form functions. Olaf Bachmann, Paul S. Wang, Eugene V. Zima
- On computational properties of chains of recurrences. Eugene V. Zima
- Symbolic Evaluation of Chains of Recurrences for Loop Optimization. Robert A. van Engelen
- Efficient Symbolic Analysis for Optimizing Compilers. Robert A. van Engelen
- Using the chains of recurrences algebra for data dependence testing and induction variable substitution. MS Thesis, Johnie Birch
getSCEV(V) 的实现与上述文献 1 中的逻辑有点像:
参考
[1] 2018 EuroLLVM Developers’ Meeting: J. Absar
- https://www.youtube.com/watch?v=AmjliNp0_00
- https://llvm.org/devmtg/2018-04/slides/Absar-ScalarEvolution.pdf
[2] How LLVM optimizes power sums
[3] Scalar Evolution 技术与 i^n 求和优化
[4] LLVM Loop Optimization Working Group Dec 4, 2019
[5] ScalarEvolution and Loop Optimization
[6] LLVM Passes
[7] Chains of Recurrences - a method to expedite the evaluation of closed-form functions
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